芝诺之四论

芝诺（Zeno, Ζήνων ὁ Ἐλεάτης）乃巴萌（Parmenides, Παρμενίδης ὁ Ἐλεάτης）之弟子。他提出四个观点以证无动（no motion ）之说。

一说

移动也不可为，芝诺如是说。因为移动者必先行半程，继而行余下路程之半程，如此反复，永弗停歇。设若一点在数轴上由0移向1，其首触1/2，尔后3/4，再后7/8，如此类推。其于第n步的位置为。因而，永远都无法行完无尽的步子，永远也达不到1也。可见，正如0到1的移动一般，世间根本没有移动。

在现代物理中，学者也发现类似情况。如同芝诺那样，学者们假设移动是连续不断的；然而，与芝诺不同的是，他们喜欢说移动体经过了数量无尽的点。芝诺否定无穷尽，因此也否定了移动。现代物理学家接受移动，因此也接受了无穷尽。

二说

著名的Achilles和对手（通常是一只乌龟）沿着一条正数轴赛跑。Achilles始于0，而乌龟领先一步，即1。因为Achilles比乌龟速度快两倍，人们总是设想他会于2赶上乌龟。可是，当Achilles到达1时，乌龟却已到达1 + 1/2；当Achilles到达1 + 1/2时，乌龟又到达1 + 1/2+1/4了……最终，当Achilles到达2-时，乌龟依然在前头，即2-。抛开那让我们相信有移动存在的外表来看，Achilles永远也赶不上乌龟。

在这一说里，芝诺再次假设（如我们一样）：时空是连续不断的，并且，倘若有移动，便有均匀运动（uniform motion）。芝诺同时假设（与我们相异）：Achilles和乌龟永远不能“通过”这无穷尽的步骤，完成移动。

当代物理学认为，移动包含对无穷尽多的时空之占有——在一个有限的时间间隔里。由于我们接受了无穷，所以我们无法觉察到芝诺的困境。但是，如果有人反对无穷，他/她就必须拒绝连续运动的可能性。

三说

在每一瞬，飞行的箭是定格的。是故，箭未真正移动。

对于这一说，我们许会这么回答：箭在瞬间越过0的事实，并非意味着它在一段时间间隔（包含着有尽瞬间）里越过它。如同微积分中所说：

0×∞=1

芝诺不喜欢无穷，因此也不会做这番回答。

四说

此说有各种版本。以下便是一个。有三行人：

A行伫立不动，B行全速右移，C行全速左移。在一个最小时间单位内，B向右移动了一个距离单位，C向左移动了一个距离单位。于是对B而言C就移动了两个距离单位。因此必有一个使C相对于B的位置移动一个距离单位所需的时间，否则半个时间单位将等于一个时间单位。

回答这个问题，我们既可以挑战芝诺有限论的大前提——全速，或者援引狭义相对论来解释。

总公式

芝诺的每个说法都是这种形式：

无穷的否定

+ 其他方面（包括空间的连续性）

无移动

选译自Mathematics, a concise history and philosophy / W.S. Anglin. (1994, Springer-Verlag)